Teoria dei numeri

Il testo è dedicato alla Teoria dei numeri, una delle branche della matematica che storicamente ha prodotto questioni di inter

Negli anni recenti, grazie anche agli studi su sistemi non lineari con computer superveloci, è divenuto chiaro come il caos, la nonlinearità, il disordine non siano un'eccezione, ma una proprietà intrinseca di molti sistemi, che presentano quindi un comportamento non prevedibile in modo deterministico. La teoria matematica che sta alla base di queste recenti scoperte, nuovo strumento per moltissime applicazioni nella scienza e nell'ingegneria, è la teoria delle catastrofi. Arnol'd fornisce un metodo universale per studiare tutti i tipi di transazioni brusche, discontinuità e cambiamenti improvvisi in un modo accessibile anche a chi non abbia una preparazione matematica.

La successione di Fibonacci è la configurazione numerica che si incontra più frequentemente e forse anche la più curiosa. È una configurazione incredibilmente semplice: inizia con due "1" e i numeri successivi sono sempre la somma dei due immediatamente precedenti (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 e così via). Non si tratta però solo di una curiosità matematica: questa successione si trova spesso in natura, dall'andamento della riproduzione di api e conigli alla disposizione delle spirali sulle pigne e gli ananas. Il che offre ampio spazio alla riflessione sui rapporti fra matematica e natura. Con grande chiarezza Alfred Posamentier e Ingmar Lehmann ci guidano in una affascinante rassegna delle molte ramificazioni dei numeri di Fibonacci. Si inizia con una breve storia di Leonardo Pisano (meglio noto come Fibonacci), a cui si deve anche la diffusione dei numerali arabi in Occidente. Oltre che in natura, nell'arte, nell'architettura, nell'andamento dei mercati azionari e in altre aree della società e della cultura, Posamentier e Lehmann trovano una schiera innumerevole di casi in cui fanno la loro comparsa i numeri di Fibonacci e la sezione aurea, che a quei numeri è strettamente collegata. Postfazione di Herbert A. Hauptman.

Testo di divulgazione matematica, il volume è un libro sulla teoria dei numeri. L'idea del libro nasce da centinaia di sequenze originali che gli autori hanno registrato nell'enciclopedia on-line di matematica gestita dalla AT&T, la On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Descrivendo la genesi di queste sequenze, gli autori si collegano ai classici temi della matematica, noti e meno noti, fornendo informazioni storiche e tecniche e proponendo nuove idee e numerosi spunti di riflessione. Nel libro è indicata una via per "fare della matematica" pur senza essere dei professionisti, ma allo stesso tempo si ricorda che non ci s'improvvisa matematici. Il tutto è raccontato con semplicità e con atteggiamento critico e disincantato. Lo scopo è sempre quello di stimolare e incoraggiare la creatività.

L'algebra è nata come lo studio della risolubilità delle equazioni polinomiali e tale è essenzialmente rimasta fino a quando nel 1830 Evariste Galois, matematico geniale dalla vita breve e avventurosa, ha definitivamente risolto questo problema, ponendo allo stesso tempo le basi per la nascita dell'algebra moderna intesa come lo studio delle strutture algebriche. La teoria di Galois classica viene oggi insegnata a vari livelli nell'ambito dei corsi di laurea in matematica. Questo libro di testo è stato di conseguenza scritto per essere usato in modo flessibile. Alcune parti, come quella sulla teoria dei campi, possono essere utilizzate anche per i corsi più avanzati di algebra, geometria e teoria dei numeri. Altri argomenti, quali ad esempio la risolubilità per radicali delle equazioni di grado basso oppure la costruibilità con riga e compasso delle figure piane, possono essere svolti anche in corsi di matematiche complementari per l'indirizzo didattico. Il volume contiene note storiche, molti esempi dettagliati ed esercizi.

Con questo libro si vogliono raggiungere in modo ragionevolmente integrato tre obiettivi: descrivere alcuni contenuti elementari di teoria dei numeri, presentare diversi argomenti classici e avanzati sulle successioni uniformemente distribuite e sulla discrepanza delle successioni finite, introdurre alcuni risultati di analisi di Fourier motivandoli di volta in volta con specifiche applicazioni relative ai primi due punti. Ecco gli argomenti: Elementi di teoria dei numeri. Preludio. Funzioni aritmetiche e punti interi. Congruenze. Crittografia. Reciprocità quadratica e serie di Fourier. Somme di quadrati. Analisi di Fourier e distribuzione di punti. Distribuzione uniforme e completezza del sistema trigonometrico. Irregolarità di distribuzione in T e approssimazione trigonometrica. Punti interi e formula di sommazione di Poisson. Punti interi e somme esponenziali. Irregolarità di distribuzione in T e decadimento di trasformate di Fourier.